$$Considere a situação apresentada na figura, em que um vagão, movendo-se num plano horizontal, é carregado com areia a partir de uma tremonha fixa ao solo. Considere que, após estar completamente carregado, o vagão, com velocidade $v_1$ , começa a despejar areia por uma fenda que se abriu no chão. A areia cai na vertical. Após perder toda a areia, a velocidade do vagão... $$$$

No dia seguinte, a situação repetiu-se, mas o seu colega decidiu atirar-lhe a lancheira com uma massa $m_l=2.kg$ mesmo antes de o barco partir. A lancheira é atirada com uma velocidade $v_{0x}=3.8m{s}^{-1}.$ Ao receber o pacote, o barco, que estava desatracado, começou a mover-se. Assustando-se, o rapaz dentro do barco decide atirar a lancheira de volta ao seu colega com a mesma velocidade $v_{0x}$ em relação ao cais. $$ Sabendo que o rapaz que está no barco têm uma massa de $m=80kg,$ qual a velocidade do barco quando a lancheira chega ao cais? Menospreze o atrito da água sobre o movimento do barco e apresente o resultado com 3 casas decimais. $$$$

O rapaz partiu para o seu passeio de barco mas ao fim de 5 segundos o seu colega viu que se tinha esquecido da lancheira que havia preparado. Decide então fazer um lançamento horizontal para lhe passar a lancheira que tem uma massa de $m_l=2.5kg.$ Sabendo que o o barco se desloca em todos os momentos a uma velocidade constante de $v=2.1m{s}^{-1},$ e que a altura do lançamento é de $y_0=1.5m,$ qual a velocidade mínima para que a lancheira atinja o barco? Assuma que a lancheira sai da ponta da plataforma onde estava encostado o barco e que a aceleração gravítica é de $g=9.8m{s}^{-2}.$$$

$$Considere a situação apresentada na figura. Um vagão move-se ao longo de um plano horizontal, completamente descarregado, a uma velocidade inicial $v_0$ . A certo momento do seu percurso, começa a receber areia de uma tremonha fixa ao solo. Quando ficou completamente carregado, a velocidade do vagão... $$$$

$$Considere agora que a caixa chega a ADt com uma velocidade $\overrightarrow{{\mathbf{v}}_{\mathbf{c}}}=10{\overrightarrow{\mathbf{e}}}_{x}cm{s}^{-1},$ ambos os amigos pesam $P=700N,$ a plataforma pesa $P_{pl}=90N,$ a caixa pesa $P_{caixa}=70N.$ Calcule quanto se deslocou o centro de massa do sistema plataforma+ADt+caixa ao fim de $t=6s$ após ADt ter atirado a caixa no sentido de AEsq com uma velocidade $\overrightarrow{{\mathbf{v}}^{\mathbf{\ast }}{}_{\mathbf{c}}}=-\overrightarrow{{\mathbf{v}}_{\mathbf{c}}}$ medida pelo amigo observador (AO). Apresente o resultado em unidades $cm$ e com duas casas decimais. $$$$

$$Considere o sistema da pergunta anterior constituído pela plataforma, canhão e bala. $$ Calcule a velocidade da plataforma com o canhão logo após a bala ter sido disparada, $V_f{\mathbf{e}}_x.$ Note que a velocidade é unicamente na direção do carril. Dê a resposta com duas casas decimais. $$$$

$$No seguimento da situação descrita acima, o ADt recebe a caixa e agarra-a. A caixa chega a ADt com uma velocidade $\overrightarrow{{\mathbf{v}}_{\mathbf{c}}}=20{\overrightarrow{\mathbf{e}}}_{x}cm{s}^{-1}.$ Posteriormente ADt devolve a caixa para AEsq. O amigo que está a observar (AO) consegue verificar que a velocidade da caixa que ADt devolve a AEsq é igual em módulo mas de sentido contrário ao da velocidade que recebeu, ou seja $\overrightarrow{{\mathbf{v}}^{\mathbf{\ast }}{}_{\mathbf{c}}}=-20{\overrightarrow{\mathbf{e}}}_{x}cm{s}^{-1}.$ Calcule o módulo da velocidade de ADt depois de devolver a caixa a AEsq, $v_{ADt}.$ Considere que tanto AEsq como ADt pesam $P=700N,$ o peso da plataforma é $P_{pl}=110N,$ a caixa pesa $P_{caixa}=60N.$ Apresente o resultado em unidades $cm$ $s^{-1}$ e com duas casas decimais. $$$$

$$Considere o sistema descrito anteriormente e constituído pela plataforma, canhão e bala. Sabendo que a posição inicial de cada uma das componentes do sistema é no ponto (0m,0m) $$ calcule a distância $$ relativa à posição inicial a que se encontra o centro de massa do sistema no instante exato em que a bala toca no chão, $D_{CM}.$$$

$$Considere as velocidades da caixa e de AEsq e ainda os pesos indicados anteriormente. Calcule quanto se deslocou o centro de massa do sistema plataforma+AEsq+caixa ao fim de $t=7s,$ após AEsq ter atirado a caixa no sentido de ADt. Todas as massas são pontuais. ADt está suficentemente distante para que a caixa não o atinja durante este intervalo de tempo $t$. $$ Apresente o resultado em unidades $cm$ e com duas casas decimais. $$$$

$$Dois rapazes decidiram tirar umas férias junto de um lago. Um deles decidiu pegar num barco a motor de massa $M=300kg$ e ir dar um passeio pelo lago, enquanto o outro ficou no cais a pescar. $$ O peso conjunto dos dois rapazes é de $P=1568.N,$ e ambos têm o mesmo peso. Qual a massa do sistema (rapaz + barco)? Assuma que a aceleração gravítica $g=9.8m{s}^{-2}.$$$

$$Na figura as carruagens de um comboio são carregadas com areia enquanto se deslocam com uma velocidade constante $v=3.8m/s.$ $$ A areia cai segundo um ângulo $\theta =37{}^{\circ }$ com a vertical, a uma taxa de $420kg/s$ e com uma velocidade $u=1.5m/s.$ $$ Determine a força F necessária para manter a carruagem em movimento uniforme $?$ $$ $$ $$$$

$$Na figura um prato circular homogéneo, de raio $R=50cm$ tem um buraco circular de raio $r=10cm.$ $$ Use o sistema de coordenadas da figura, onde o centro do buraco está sobre o eixo dos y $.$ $$ Determine a coordenada y do centro de massa do prato $?$ $$ Sugestão: O buraco pode ser representado por dois discos sobrepostos, um de massa m e outro de massa --m $.$ $$ $$ $$$$

$$Os dois corpos da figura têm massas diferentes, $M_A\ne M_B,$ e podem deslocar-se sem atrito ao longo da trajetória semicircular vertical indicada, de raio $R=58cm.$ Larga-se o corpo A, que vai colidir elasticamente com B. $$ IApós o choque, os dois corpos adquirem a mesma velocidade em módulo, embora de sentidos contrários $.$ $$ Qual é a altura máxima $\text{h},$ medida a partir do ponto mais baixo da trajetória, que o corpo B consegue atingir $?$ $$ Sugestão: Comece por calcular a relação entre as massas dos 2 corpos $.$ $$ $$$$

$$A e B são 2 esquiadores sobre uma pista de gelo a participarem num jogo. O objectivo do jogo é chegar primeiro à taça, puxando a corda esticada $.$ $$ O esquiador A tem massa $M_A=83kg$ e o esquiador B tem massa $M_B=76kg.$ $$ Distam entre si inicialmente $2d=6.7m$ e cada um deles segura a ponta de uma corda (de massa desprezável) esticada. Puxando e encurtando a corda tentam aproximar-se de uma taça, que inicialmente está a meio da distância entre eles $.$ No sistema de coordenadas da figura a caneca está em x = 0. Inicialmente A está em -d e B em d $.$ Quando um deles chegar primeiro à taça e ganhar, onde está o outro $?$ $$$$

$$Os dois blocos da figura podem deslocar-se sem atrito e são usados para comprimir uma mola de massa desprezável e constante $K=79N/m.$ $$ A mola é comprimida $5cm.$ O bloco A tem massa $M_A=12kg.$ O bloco B tem massa $M_B=11kg.$ $$ Num dado instante os blocos deixam de comprimir a mola. Qual a velocidade do bloco B imediatamente após deixar de estar ligado à mola $?$ $$ $$ $$$$

$$Na figura estão dois suportes prismáticos idênticos, com declive nulo no final, cada um com massa $M=4kg.$ Ambos podem escorregar, sem atrito, na superfície horizontal polida da figura $.$ $$ Colocamos um corpo de massa $m=2.6kg,$ a uma altura $H=51cm,$ no suporte da esquerda $.$ Esse corpo vai deslisar, sem atrito, atingindo a superfície horizontal com velocidade. Inicia então a subida do suporte da direita $.$ $$ Determine a altura máxima h que ele consegue atingir no suporte da direita $?$ $$$$

$$Na figura, o esquiador de massa $m=93kg$ puxa um grande bloco de gelo de massa $M=924kg.$ $$ Para isso usa uma corda de comprimento $d=6.6m.$ O bloco de gelo tem um comprimento $L=3.1m.$ $$ Qual a coordenada x do esquiador quando toca a parede esquerda do bloco de gelo $?$ $$ $$ $$$$

$$A pequena esfera de massa $m=170g$ está ligada a um fio de comprimento $L=85cm$ e é largada da posição horizontal $.$ $$ Na posição vertical colide elasticamente com outra massa $M=140g,$ ligada a uma mola de constante $K=79N/m.$ $$ Qual é a compressão máxima da mola $?$ $$ $$$$

$$Sabemos que a posição do Centro de Massa de uma chapa triangular retangular homogénea, à esquerda na figura, se situa no ponto $(\frac{a}{3},\frac{b}{3})$ onde $aeb$ são os catetos $.$ $$ Considere agora uma chapa triangular escalena, figura da direita, onde são conhecidos $a=27cm,$ $b=14cm,$ e a altura $h=20cm.$ $$ Qual é a coordenada x do seu Centro de Massa $?$ $$$$

$$Na figura estão dois prismas idênticos, de inclinação igual a 45 graus e massa $M=8.2kg.$ Encontram-se em repouso no plano horizontal, ao longo do qual se podem deslocar sem atrito $.$ $$ Uma bola de massa $m=410g,$ largada de uma altura $H=50cm,$ choca elasticamente com as superfícies dos dois prismas (ver Figura) e volta a subir verticalmente $.$ $$ Admita que a trajectória entre as duas colisões elásticas pode ser aproximada por uma linha recta horizontal $.$ $$ Determine a altura máxima h alcançada pela bola, depois da segunda colisão $?$ $$$$