$$Numa experiência de acelerador é observada numa colisão a presença de uma partícula instável cuja trajectória (invisível) tem um comprimento $d$. $$ Após a reconstrução das trajectórias de todas as outras partículas (visíveis) envolvidas verificou-se que essa partícula tinha uma energia $ℰ$ $$ e um momento linear de magnitude $p$ . $$ Escolha a expressão correta para a velocidade $v$ da partícula. $$$$

$$Usando os dados do problema anterior, quais das expressões seguintes exprime corretamente a massa da partícula invisível? $$ $$Note que mais do que uma pode estar certa e cada escolha errada será penalizada. $$$$

$$Ainda no contexto do problema anterior, use o valor $ℰ=44GeV$ para a energia da partícula , $p=32GeV/c$ para o seu momento linear e $d=4mm$ para a distância percorrida pela partícula invisível. Determine o tempo de vida $\tau$ da partícula no seu referencial próprio. $$ Dê o resultado em pico-segundos = ${10}^{-12}s$ com 4 dígitos significativos. $$$$

$$No ponto de interacção IP5 no LHC, onde se encontra a experiência CMS, dois feixes de protões, de energia $6.5TeV$ cada, colidem segundo um ângulo $\theta =400\mu rad$ durante um período de tomada dados. Determine a magnitude do momento linear de cada um dos protões no referencial do centro de momento. $$ $$Considere a massa do protão $m_p=938MeV/c^2.$ Dê o resultado com 5 algarismos significativos em unidades $MeV/c.$$$

$$Explique porque é que ${\int }_0^t{\tau }^{2}d\tau =\frac{t^3}{3}.$$$

$$Um feixe de muões, $\mu$ , em raios cósmicos, move-se à velocidade de $v=0.993c.$ Qual é a percentagem de muões que sobrevive após um percurso de $1910m?$ Assuma um tempo de meia-vida de $T_{1/2}=1.53\times {10}^{-6}s$ no referencial próprio. Apresente o resultado com 4 algarismos significativos. $$$$

$$Neste problema pretende-se analisar como é que uma fibra ótica consegue transportar luz. Uma fibra ótica pode ser idealizada como um cilindro de material com índice de refracção $n_f=1.5$ coberto com uma capa, também cilíndrica, com índice de refração $n_c.$ Considere um raio de luz incidente na parte central da fibra ótica a partir do ar. O ar tem índice de refração $n_a=1,$ e o ângulo de incidência ${\theta }_A=20{}^{\circ }$ é medido relativamente à normal à face plana do cilindro (ver figura). $$ Qual o ângulo de refração ${\theta }_B=$ com que o raio de luz entra no material, ângulo medido relativamente à normal à superfície de separação ar/cilindro? Apresente o resultado em graus. Nota: a magnitude dos ângulos apresentados é arbitrária. $$$$

Assuma agora que a luz atinge a superfície da fronteira entre $n_f$ e $n_c$ fazendo um ângulo de $50{}^{\circ }$ com a normal a esta superfície. $$ Por forma a que haja reflexão total na interface cilindro central-capa qual das opções deverá acontecer? $$$$

Nas condições da alínea anterior, e assumindo que o ângulo de incidência é de ${\theta }_C=63{}^{\circ }$ calcule o valor limite de $n_c$ para que ocorra reflexão total no interface cilindro-capa. $$$$

Se a luz entrar no material do cilindro central com um ângulo ${\theta }_B=27{}^{\circ },$ calcule qual o ângulo ${\theta }_C$ com que a luz incide na fronteira entre o material com índice de refração $n_f$ e o material da cobertura com índice de refração $n_c.$ Considere o ângulo ${\theta }_C$ medido em relação à normal ao plano de separação entre esses dois meios. $$$$

$$ Usando a Lei de Gauss, determine o fluxo $\mathrm{\Phi }$ do campo $\overrightarrow{\mathbf{E}}$ através de uma superfície hemisférica de raio $a=8cm$, quando campo é uniforme, com magnitude $|\overrightarrow{\mathbf{E}}|=4mV{m}^{-1}$, e faz um ângulo $\alpha =9{}^{\circ }$ com o eixo do hemisfério, no sentido pólo-equador. $$

$$A força exercida sobre uma carga $q=\frac{1}{2}C$ que se desloca com velocidade $\overrightarrow{\mathbf{v}}=2({\overrightarrow{\mathbf{e}}}_x-{\overrightarrow{\mathbf{e}}}_y-{\overrightarrow{\mathbf{e}}}_z)m/s$ num campo magnético $\overrightarrow{\mathbf{B}}=-3{\overrightarrow{\mathbf{e}}}_{z}T(Tesla)$ designa-se Força de Lorentz $\overrightarrow{\mathbf{F}}=q\overrightarrow{\mathbf{v}}\times \overrightarrow{\mathbf{B}}.$ $$Selecione qual das seguintes opções corresponde à resposta correta para $\overrightarrow{\mathbf{F}}.$$$

$$Compare o valor da força gravítica que atua num astronauta à superfície da Terra com o valor da força gravítica sentida por esse mesmo astronauta quando se encontra numa nave numa órbita circular com $7100km$ de raio em torno da Terra. Considere que o astronauta tem massa $80kg$ e que o raio médio da Terra é de $6371km.$ Apresente o resultado com dois algarismos significativos. $$$$

$$ Compare o valor da força gravítica que actua num astronauta à superfície da Terra com o valor da força gravítica que actua nesse astronauta quando se encontra numa nave numa órbita circular com $7000km$ de raio em torno da Terra. Considere que o astronauta tem massa $70kg$ e que o raio da Terra é de $6371km.$ $$

$$Uma corda é agitada numa extremidade $x=0$ com um frequência $f=7Hz$ e uma amplitude $A=10cm.$ A onda que se forma propaga-se com uma velocidade $v=20m/s.$ A densidade linear da corda é $\mu =0.06kg/m.$ Determine a frequência angular ( $\omega$ ) e apresente o resultado com 3 algarismos significativos. $$$$

$$Uma corda é agitada numa extremidade $x=0$ com um frequência $f=8Hz$ e uma amplitude $A=12cm.$ A onda que se forma propaga-se com uma velocidade $v=20m/s.$ A densidade linear da corda é $\mu =0.07kg/m.$ Determine a frequência angular ( $\omega$ ) e apresente o resultado com 3 algarismos significativos. $$$$

$$Um automóvel parte do repouso com aceleração $a=8m/s^2,$ continua em movimento uniforme durante algum tempo. Depois trava até à paragem completa, com uma desaceleração igual, em módulo, à inicial (ver figura). $$ Sabemos que o tempo total de deslocamento é $T=31s$ e a velocidade média de todo o percurso é $<v>=13m/s.$ $$ Determine a duração $T_2$ do movimento uniforme $?$$$

$$Na figura estão 3 corpos: um carrinho de massa $M=27kg,$ em cima dele um bloco de massa $m_1=12kg,$ ligado a este por um fio e uma roldana está pendurado verticalmente um segundo corpo de massa $m_2=2kg.$ $$ Despreze as massas do fio e da roldana bem como o atrito em todas as superfícies e use $g=9.8m/s^2.$ $$ Aplica-se uma força horizontal sobre o carrinho (ver figura) com uma amplitude $\left|\overrightarrow{\mathbf{F}}\right|=264N.$ $$ Determine a aceleração adquirida pelo carrinho $\text{M}?$ $$$$

$$Considere o sistema mecânico da figura, constituido por um prisma com massa $M=6kg$ e ângulo $\alpha =40{}^{\circ },$ sobre ele escorrega um corpo de massa $m=8kg.$ Despreze o atrito em todas as superfícies e use $g=9.8m/s^2.$ $$ Aplica-se sobre o prisma uma força horizontal de amplitude $F=9N.$ $$ Determine a aceleração adquirida pelo corpo m a escorregar sobre o prisma (em relação ao prisma) $?$ $$$$

$$Considere o sistema mecânico da figura. O corpo $M=18kg$ escorrega, sem atrito, sobre o plano horizontal. $$ O corpo $m=8kg$ é puxado por um fio que passa numa roldana fixa em M. Por acção dessa força pode escorregar em cima de M, com um coeficiente de atrito cinético ${\mu }_k=0.3.$ Use $F=37N.$ $$ Determine a aceleração horizontal do corpo superior m em relação ao corpo inferior M (positiva para a esquerda) $?$ $$ $$$$